Понятие факторного анализа
Факторный анализ - это группа методов многомерного статистического анализа />, которые позволяют представить в компактный форме обобщенную информацию о структуре связей между наблюдаемыми признаками изучаемого соц. объекта на основе выделения некоторых скрытых, непосредственно не наблюдаемых факторов.
Факторный анализ в его классическом варианте разработан для данных, полученных при измерениях по интервальным шкалам >. Это ограничение связано с предположениями формальной модели, на которой базируется классический факторный анализ. Считают, что изучаемый социальный объект > описывается набором признаков х1,х2, . ,хn (n - общее число используемых признаков), то есть информация о нем может быть представлена в форме матрицы данных «объект-признак» (хij), N = 1, 2, ., n, где х - значение j-то признака х. на г-м объекте, N - общее число объектов.
Каждому признаку х поставим в соответствие признак zj, являющийся приведением первого признака к стандартной форме в результате следующего преобразования: Zji=(Xji-xj)/oj , где Xj и lower case «Sigma»j - соответственно среднее значение и стандартное отклонение > признака xj. Признаки xj, заданные в стандартной форме, имеют нулевое среднее и единичную дисперсию.
Основное предположение А.ф. заключается в том, что каждый наблюдаемый признак можно выразить в виде суммы некоторых других не наблюдаемых признаков (факторов), умноженных каждый на свой коэффициент />. Эти коэффициенты принято называть факторными нагрузками. Значения факторных нагрузок, как правило > и являются рез-том вычислительной процедуры А.ф., то есть именно они служат основой для содержательных выводов. Указанное предположение можно выразить следующим образом: (1) где Fp - р-й общий фактор ( р меняется от 1 до m), m - количество общих факторов, Uj - j-й характерный фактор, аjр - факторная нагрузка р-го общего фактора на j-й признак, d. - факторная нагрузка j-ro характерного фактора.
Факторы принято разделять на общие (Fp) и характерные (Uj). Отличие характерных факторов от общих заключается в том, что каждый характерный фактор имеет ненулевое значение только для одного наблюдаемого признака. Количество общих факторов (m) предполагается существенно меньшим количества исходных признаков (n). Обычные допущения, позволяющие придать указанной модели статистический смысл, заключаются в следующем: факторы представляют собой величины случайные нормальным законом распределения, заданные в стандартной форме; характерные факторы независимы как между собой, так и по отношению к общим факторам. При этих предположениях появляется возможность определения с помощью различного рода статистических процедур факторных нагрузок по наблюдаемым значениям исходных признаков.
Зная значения факторных нагрузок и исходных признаков, можно вычислить для каждого объекта значения факторов и тем самым перейти к более экономному описанию. Вместе с тем из указанных предположений следует, что факторный анализ в его классическом варианте применим лишь для количественных данных (факторы предполагаются непрерывными и имеющими нормальное распределение />).
В рамках введенной линейной нормальной модели Факторный анализ (1) обычно предполагаются некоррелированными между собой не только характерные, но и общие факторы. В этом случае оказываются справедливыми следующие соотношения: где аjp, акp, аlp, - факторные нагрузки р-го фактора соответственно на j-й, к-й и 1-й признаки, lower case «Sigma»kl - коэффициент корреляции между к-м и 1-м признаками. В правой части соотношения стоят квадраты факторных нагрузок. Каждое слагаемое определяет обусловленную соответствующим фактором долю дисперсии наблюдаемого признака, то есть вся дисперсия может быть разделена на две части: дисперсию, обусловленную наличием общих факторов (сумму квадратов общих факторов принято называть общностью />), и дисперсию, обусловленную вариацией характерного фактора (квадрат нагрузки характерного фактора d2 обычно называют характерностью). Из соотношения следует, что коэффициент корреляции между двумя любыми исходными признаками выражается через факторные нагрузки общих факторов. Пример факторного анализа представлен в Приложении А.
